濾波器如何延緩信號(hào)?

    信息可以通過多種方式加載于信號(hào)，它總是需要一段限定的時(shí)間來通過處理系統(tǒng)。你可能很熟悉數(shù)字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應(yīng)狀態(tài)變化這段時(shí)間差。有數(shù)字概念的讀者首先想到的可能是一個(gè)‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號(hào)，傳輸延遲沒有害處;但當(dāng)我們考慮到模擬信號(hào)(實(shí)際上，沒有確定的特性對應(yīng)特定的時(shí)間點(diǎn))時(shí)，就不是那么簡單了。

    我們經(jīng)常對信號(hào)和數(shù)據(jù)序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒有任何意義，且它還是我們要觀察的更重要的基本頻點(diǎn)的障礙。雖然濾波過程對我們的觀察影響巨大，但它絕對是一個(gè)影響觀察的案例。當(dāng)我們查看響應(yīng)圖形時(shí)，傳統(tǒng)濾波方式 明顯的后果是，在輸入信號(hào)的變化和濾波后輸出的相應(yīng)變化之間有明確的時(shí)間延遲。當(dāng)我們看一些例子時(shí)，我們將在某一時(shí)刻借助測試信號(hào)清楚地看到這點(diǎn)。

    我們?nèi)绾瘟炕@種形式的延遲?

    濾波器(或任何其它線性信號(hào)處理模塊)輸入信號(hào)和相應(yīng)輸出之間的這種“滯后”，

    與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當(dāng)于(或略低于)相位響應(yīng)與派生頻率。為此應(yīng)選用明智的單位;如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達(dá)頻率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案。或者你可以使用“周期”—— 一個(gè)周期，是一個(gè)完整旋環(huán)，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲(與每秒的周期數(shù)相同)表示的常規(guī)頻率差，也會(huì)給出以秒表述的答案。

    我們可能忍不住要問：如果要避免這種滯后，為什么不設(shè)計(jì)一款沒有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過我的專欄，你可能會(huì)認(rèn)識(shí)到這句話中的“危險(xiǎn)成分”。因?yàn)椋悴聦α?mdash;—它并非這么容易。如果你查找或計(jì)算“標(biāo)準(zhǔn)”的低通濾波器響應(yīng)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們的組延時(shí)是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來點(diǎn)別出心裁。

    我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

    如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴(yán)格的答案是‘不能‘。但確實(shí)有種技術(shù)可用以開發(fā)補(bǔ)償濾波器，當(dāng)其與原來的濾波器級(jí)聯(lián)時(shí)，可以給你零延遲;當(dāng)dc時(shí)，甚至是負(fù)的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯(cuò)——現(xiàn)在，可將麻煩扼殺在未發(fā)。

    比方說，某種低通傳遞函數(shù)h，它們在dc時(shí)有整體增益。可以容易地論證：新傳遞函數(shù)h’ = 2-h，在dc時(shí)也是整體增益，且在dc時(shí)的組延遲具有與h相同的

    幅值，但卻是負(fù)值。如果你級(jí)聯(lián)h和h‘(即串聯(lián)它們)，你會(huì)得到一個(gè)整體傳遞函數(shù)，我們稱其為h1，它具有dc整體增益和dc零組延時(shí)。對于s或z域的任何線性傳遞函數(shù)來說，h1就等于hh’，即h1 = h(2-h)。無論哪類濾波器，只要h是可實(shí)現(xiàn)的，這也就可以實(shí)現(xiàn)。

    這看起來似乎很怪誕。因?yàn)楹瘮?shù)h‘與h的階相同(無論使用模擬或數(shù)字濾波器)，你可以看到，將其組合起來會(huì)使濾波器的尺寸加倍，因此實(shí)現(xiàn)其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會(huì)大大降低濾波器的衰減性能。如果h是一個(gè)具有dc整體增益的低通函數(shù)，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益)，那么函數(shù)2-h就有一個(gè)會(huì)在1和3之間振蕩的值，也就是說，它可以在響應(yīng)中引入一個(gè)高達(dá)9.5db的“凸點(diǎn)”。如果該凸點(diǎn)落于整體濾波器的阻帶內(nèi)，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點(diǎn)落在通帶內(nèi)，那么該級(jí)聯(lián)的整個(gè)通帶內(nèi)的響應(yīng)會(huì)與單個(gè)h時(shí)的大相徑庭。

    這里有個(gè)簡單例子。對以100kps采樣率數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)的h，在10khz時(shí)，以n=2的巴特沃斯濾波器開始。為了設(shè)計(jì)濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的psoc creator濾波器工具，它為h給出了以下系數(shù)，幅度和組延時(shí)曲線在圖1表示。

    雙二階濾波器的 終系數(shù)：

    系數(shù)序列為a0，a1，a2，b1和b2

    0.0674552917480469

    0.134910583496094

    0.0674552917480469

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

圖1：0.01 fs時(shí)，n=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時(shí)。

    補(bǔ)償濾波器h’與h同分母，而分子等于兩個(gè)負(fù)數(shù)(h的分子)。我用快速電子表格進(jìn)行了計(jì)算，并將結(jié)果反饋給psoc creator濾波器工具。工具為這兩個(gè)雙二階部分給出了 好的排序和增益;它獲得了4db增益，以確保凸點(diǎn)響應(yīng)不高于0db，見圖2：

    雙二階濾波器的 終系數(shù)：

    系數(shù)序列為：a0，a1，a2，b1和b2

    0.216065168380737

    -0.2706618309021

    0.0847635269165039

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

    0.372884273529053

    0.745768547058105

    0.372884273529053

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

圖2：帶補(bǔ)償濾波器的n=2巴特沃斯級(jí)聯(lián);零dc組延遲

    在通帶內(nèi)，頻率響應(yīng)明顯是非平坦(內(nèi)有凹凸)的，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統(tǒng)理論，你馬上會(huì)看到，我們得到的是增加的傳遞函數(shù)零，其組延時(shí)的貢獻(xiàn)準(zhǔn)確取消了原始的濾波器極點(diǎn)(以及新極點(diǎn)也會(huì)出現(xiàn))。但它并非太過糟糕的一個(gè)響應(yīng)——它仍能去掉數(shù)據(jù)序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘?cái)?shù)據(jù)(哇!)：

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