滤波器如何延缓信号?

    信息可以通过多种方式加载于信号，它总是需要一段限定的时间来通过处理系统。你可能很熟悉数字模块的传输延迟概念。延迟，就是在输入发生某些状态变化到输出发生相应状态变化这段时间差。有数字概念的读者首先想到的可能是一个‘1’和‘0’的码流，以作为不同电压或电流水平的物理表述。对于这样的信号，传输延迟没有害处;但当我们考虑到模拟信号(实际上，没有确定的特性对应特定的时间点)时，就不是那么简单了。

    我们经常对信号和数据序列进行低通滤波以消除“噪声”--高频率变异，我们已确定其没有任何意义，且它还是我们要观察的更重要的基本频点的障碍。虽然滤波过程对我们的观察影响巨大，但它绝对是一个影响观察的案例。当我们查看响应图形时，传统滤波方式 明显的后果是，在输入信号的变化和滤波后输出的相应变化之间有明确的时间延迟。当我们看一些例子时，我们将在某一时刻借助测试信号清楚地看到这点。

    我们如何量化这种形式的延迟?

    滤波器(或任何其它线性信号处理模块)输入信号和相应输出之间的这种“滞后”，

    与组延迟紧密相关，组延迟相当于(或略低于)相位响应与派生频率。为此应选用明智的单位;如果你用弧度测量相位，以其每秒弧度的角形式表达频率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案。或者你可以使用“周期”—— 一个周期，是一个完整旋环，或360度。相位差以周期表示，除以赫兹(与每秒的周期数相同)表示的常规频率差，也会给出以秒表述的答案。

    我们可能忍不住要问：如果要避免这种滞后，为什么不设计一款没有任何组延迟的滤波器?如果你以前读过我的专栏，你可能会认识到这句话中的“危险成分”。因为，你猜对了——它并非这么容易。如果你查找或计算“标准”的低通滤波器响应，你会发现，他们的组延时是总是正向的，一直降到零频率。这里，我们需要来点别出心裁。

    我们可以消除(或者不仅仅是消除)这种延迟吗?

    如果你想让延迟在任一频率都为零，那严格的答案是‘不能‘。但确实有种技术可用以开发补偿滤波器，当其与原来的滤波器级联时，可以给你零延迟;当dc时，甚至是负的组延迟。正如我们将看到的，这可能非常有用。你不需要进行任何试错——现在，可将麻烦扼杀在未发。

    比方说，某种低通传递函数h，它们在dc时有整体增益。可以容易地论证：新传递函数h’ = 2-h，在dc时也是整体增益，且在dc时的组延迟具有与h相同的

    幅值，但却是负值。如果你级联h和h‘(即串联它们)，你会得到一个整体传递函数，我们称其为h1，它具有dc整体增益和dc零组延时。对于s或z域的任何线性传递函数来说，h1就等于hh’，即h1 = h(2-h)。无论哪类滤波器，只要h是可实现的，这也就可以实现。

    这看起来似乎很怪诞。因为函数h‘与h的阶相同(无论使用模拟或数字滤波器)，你可以看到，将其组合起来会使滤波器的尺寸加倍，因此实现其所需的资源也要加倍。也许不太容易想象的是，它可能会大大降低滤波器的衰减性能。如果h是一个具有dc整体增益的低通函数，而在所有其它频率也具有整体增益(或小于整体增益)，那么函数2-h就有一个会在1和3之间振荡的值，也就是说，它可以在响应中引入一个高达9.5db的“凸点”。如果该凸点落于整体滤波器的阻带内，那么所发生的一切就只是衰减功能的恶化。如果凸点落在通带内，那么该级联的整个通带内的响应会与单个h时的大相径庭。

    这里有个简单例子。对以100kps采样率数字方式实现的h，在10khz时，以n=2的巴特沃斯滤波器开始。为了设计滤波器并获得图表，我使用了新版(2012年2月发布)的psoc creator滤波器工具，它为h给出了以下系数，幅度和组延时曲线在图1表示。

    双二阶滤波器的 终系数：

    系数序列为a0，a1，a2，b1和b2

    0.0674552917480469

    0.134910583496094

    0.0674552917480469

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

图1：0.01 fs时，n=2的巴特沃斯滤波器的幅度和组延时。

    补偿滤波器h’与h同分母，而分子等于两个负数(h的分子)。我用快速电子表格进行了计算，并将结果反馈给psoc creator滤波器工具。工具为这两个双二阶部分给出了 好的排序和增益;它获得了4db增益，以确保凸点响应不高于0db，见图2：

    双二阶滤波器的 终系数：

    系数序列为：a0，a1，a2，b1和b2

    0.216065168380737

    -0.2706618309021

    0.0847635269165039

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

    0.372884273529053

    0.745768547058105

    0.372884273529053

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

图2：带补偿滤波器的n=2巴特沃斯级联;零dc组延迟

    在通带内，频率响应明显是非平坦(内有凹凸)的，而且已经放弃了一些相对阻带抑制。如果你熟悉控制系统理论，你马上会看到，我们得到的是增加的传递函数零，其组延时的贡献准确取消了原始的滤波器极点(以及新极点也会出现)。但它并非太过糟糕的一个响应——它仍能去掉数据序列的高频率噪声——如图3所示，某些神秘数据(哇!)：

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